Il fenomeno di Lavrentiev: nuovi risultati per un problema classico
Seminari di Analisi Matematica dell'Università e del Politecnico di Torino
Date:
Venue: Carlo Mariconda - Aula 2 (Dipartimento di Matematica, Università di Torino)
Si consideri il tipico funzionale del calcolo delle variazioni $F(y):=\displaystyle\int_a^bL(s, y(s), y'(s))\,ds$, dove $L$ è una Lagrangiana a valori positivi, eventualmente infiniti, definito per funzioni assolutamente continue $y$ su $[a, b]$ a valori vettoriali con specifici valori fissati in $a$ e/o in $b$ ed eventuali altri vincoli.Indipendentemente dalla esistenza o meno di minimi, nelle applicazioni numeriche è utile poter approssimare l'estremo inferiore del funzionale $F$ nella classe di funzioni considerate con valori del funzionale su funzioni Lipschitziane con stessi vincoli.Talvolta ciò non è possibile, anche in casi nei quali la Lagrangiana è estremamente regolare (come ad esempio un polinomio): tale situazione è nota con il nome di fenomeno di Lavrentiev.
In letteratura sono note condizioni che escludono a priori il fenomeno quando la Lagrangiana è a valori finiti o vi è una sola condizione iniziale del tipo $y(a)=A\in\mathbb R^N$.
Il caso a valori infiniti è particolarmente arduo, dal momento che vi sono esempi di Lagrangiane costanti sul dominio effettivo (cioè dove esse sono costanti) per le quali si verifica il fenomeno ed interessante dato che esso permette di affrontare problemi con vincoli di stato o di velocità.
Il seminario sarà l'occasione per vedere degli esempi e dei nuovi risultati in via di pubblicazione (C. Mariconda, Avoidance of the Lavrentiev gap for one-dimensional non-autonomous functionals with constraints, Adv. Calc. Var.) sia nel caso finito che a valori estesi.
Speaker
Carlo Mariconda
Affiliation
Università di Padova
Room
Aula 2
Proposed by
Susanna Terracini
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